Fly_Fire1000的博客

线性方程组如下图。

线性变换能用于解线性方程组，将解线性方程组转换为寻找目标向量$\vec{x}$。$\vec{x}$应用给定的线性变换$A$后，结果为给定的向量$\vec{v}$，即$A\vec{x}=\vec{v}$。

当线性变换$A$的行列式的值不为0，即空间的维度没有被降低。那么，给定的向量$\vec{v}$应用$A$的逆向变换，就可以得到目标向量$\vec{x}$。线性变换的逆向变换是另一个线性变换。

线性变换$A$的逆向变换，称为$A$的逆，计为$A^{-1}$。

对于$A$，$A^{-1}$是唯一的变换，先应用$A$，再应用$A^{-1}$，结果什么都不发生改变。因此$AA^{-1}$表示什么都不做的变换，这样的变换被称为恒等变换，它的基向量变换前后保持不变。

如果找到了$A^{-1}$的值(通常，通过计算机计算)，在$A\vec{x}=\vec{v}$两边都乘以$A^{-1}$。因为$AA^{-1}$相当于不存在，可得$\vec{x}=A^{-1}\vec{v}$，即将给定向量$\vec{v}$应用$A^{-1}$，就得到了目标向量$\vec{x}$。

当线性变换$A$的行列式的值为0，即空间的维度被降低。那么不存在$A$的逆向变换，因为变换无法增加空间的维度(一个输入只对应一个输出)。这时，仅限给定向量$\vec{v}$落在$A$变换后的空间内，目标向量$\vec{x}$存在。(不提供计算方法)

我们将一个线性变换，变换后空间的维度称为这个线性变换的「秩(Rank)」。因为变换不能增加空间的维度，所以二维矩阵的「秩」的最大值为2，小于2表示空间维度降低，这个矩阵的行列式为0。

我们将一个矩阵所有变换结果的集合，称为这个矩阵的「列空间」(Column space)，即矩阵的列张成的空间。「秩」就是「列空间」的维度。当一个矩阵的「秩」为最大值，等于矩阵的列数，称为「满秩」(Full Rank)。

因线性变换原点位置保持不变，零向量必定处于「列空间」中。一个「满秩」的变换，只有零向量变换后为零向量。一个非「满秩」的变换，多个向量变换为零向量。

1. 「秩」为1的二维线性变换，一条直线上的向量变换为零向量。
2. 「秩」为2的三维线性变换，一条直线上的向量变换为零向量。
3. 「秩」为1的三维线性变换，一条平面上的向量变换为零向量。

一个矩阵，变换后落在原点的向量(零向量)的集合，称为这个矩阵的「零空间」(Null space)或「核」(Kernel)。当给定向量$\vec{v}$恰好为零向量时，「零空间」就是这个线性方向组的解。