Fly_Fire1000的博客

一个线性变换，如果存在一个非零向量，变换后只进行了缩放，那么这个向量称为这个变换的特征向量，其中缩放的值就是特征值。

特征向量与特征值计算公式推导：

1. 依据特征向量与特征值的定义，如下等式成立。
2. 向量乘以特征值λ等价于，向量乘以一个缩放变换
3. 将等式右边的部分移动到左边，得到一个变换矩阵，这个变换使特征向量变为零向量。
4. 因为特征向量是非零向量，因此这个变换减少了空间的维度，它的行列式为0，代入行列式计算公式就可以推导出特征值的计算公式。
5. 求出特征值，代入变换矩阵，矩阵的零空间就是特征向量。

不同的线性变换，拥有特征向量、特征值的数量不同。

1. 二维旋转变换，没有特征向量、特征值。
2. 剪切变换，有无穷个特征向量(x轴)，只有一个特征值。
3. 缩放变换，有无穷个特征向量(整个空间)，只有一个特征值。
   

只有对角线不是0的方形矩阵算为对角矩阵。对角矩阵在应用多次变换时，计算尤为便利。

如果一个变换，当前使用的基的基向量恰好都是特征向量，变换后基向量只进行缩放，缩放值为特征值，这个变换显然是一个对角矩阵。
一个变换，当前使用的基的基向量恰好都是特征向量的情况并不多见。但如果一个变换的特征向量足够多，能找到一组特征向量张成的空间与这个变换的列空间维度相同。这个变换等价于先将这个变换使用的基变换为以这组特征向量为基，变换的矩阵变为对角矩阵，应用变换，之后将使用的基变换回原来使用的基。这样一组特征向量组成的基，称为特征基。